Zajęcia 9

Analiza procesu produkcyjnego I: Podstawy. Formy funkcyjne C-D i CES

Podsumowanie zajęć poprzednich / Wprowadzenie

Dotąd na ćwiczeniach i laboratoriach poznawaliśmy podstawowe narzędzia wnioskowania statystycznego. Teraz rozpoczniemy realizację rozbudowanego przykładu odwołującego się do pewnego zagadnienia ekonomicznego. Rozważymy modelowanie procesu produkcyjnego i pokażemy zastosowanie poznanych narzędzi statystycznych do analizy problemu ekonomicznego. Na wykładzie Profesor wprowadził pojęcie mikroekonomicznej funkcji produkcji i pokazał jej podstawowe własności. Następnie pokazał dwie formy funkcyjne dla ekonomicznej funkcji produkcji – funkcję CES i Cobba-Douglasa.

Zajęcia 9

Celem zajęć jest przedstawienie podstawowych zagadnień modelowania procesu produkcyjnego na przykładzie funkcji potęgowej (Cobba i Douglasa) oraz funkcji o stałej elastyczności substytucji CES.

Plan zajęć jest następujący:

1. Najpierw przypomnimy podstawowe definicje, własności i charakterystyki związane z analizą ekonomicznej funkcji produkcji.

2. Następnie wypracowane pojęcia zastosujemy do zbadania własności 2 konkretnych form funkcyjnych, tj. funkcji CES i C-D.

Należy tu podkreślić dwie sprawy: po pierwsze musimy oddzielić własności funkcji produkcji w ogóle od własności konkretnej formy funkcyjnej. Po drugie trzeba zaznaczyć, że w niniejszym kursie zajmujemy się wyłącznie rozważaniem deterministycznej funkcji produkcji – składnik losowy będzie odzwierciedlał wyłącznie błąd obserwacji, nie będziemy mu nadawać żadnej interpretacji mikroekonomicznej (czyni się tak np. w podejściu analizy tzw. stochastic production frontier – o szczegóły proszę pytać Profesora).

Ad. 1. Mikroekonomiczna funkcja produkcji (zwana też technologią).

Teraz zajmiemy się przedstawieniem teorii mikroekonomicznej niezbędnej do zbudowania i wykorzystania naszego modelu. Wielokrotnie podnoszona w tym kursie już była rola teorii ekonomicznej w formułowaniu modelu ekonometrycznego i interpretowaniu wniosków płynących z jego analizy. Przykład analizy procesu produkcyjnego (ciągnący się przez 5 zajęć z przerwą na regresję nieliniową) ma Państwu unaocznić typowy sposób postępowania ekonometryka i pozwolić przećwiczyć zdobyte umiejętności.

Jako się rzekło, niezbędnym budulcem dla naszego modelu jest teoria mikroekonomii. Profesor na wykładzie zarysował podstawowe zagadnienia. W razie wątpliwości odsyłam Państwa do podręcznika Mikroekonomia H.R. Variana wydanego przez PWN – to chyba najlepsza dostępna po polsku książka do mikroekonomii.

Dokładnie własności i definicje związane z funkcją produkcji Profesor omówił na wykładzie. Tu będą tylko wspomniane sprawy podstawowe dla uzgodnienia notacji. Funkcja produkcji to zależność między poziomami m nakładów czynników produkcji a maksymalną możliwą do uzyskania wielkością produkcji: Q = f(Z₁, ... , Z_m).

Zakładamy, że funkcja produkcji istnieje, i że spełnia określone warunki.

Tych warunków są dwie grupy:

1. Podstawowe warunki odzwierciedlające zasadnicze postulaty ekonomiczne – np. dodatniość produkcyjności krańcowych

2. Dodatkowe techniczne warunki ułatwiające nam analizę – np. zapewniające istnienie badanych przez nas wielkości np. różniczkowalność funkcji produkcji czy nawet ciągłość 2-ch pochodnych

Warunki te Profesor omówił szczegółowo na wykładzie. Dla modelowania funkcji produkcji będziemy zakładać jej konkretną postać analityczną (czyli formę funkcyjną)– z nieznanymi parametrami, które będą podlegać szacowaniu. Zauważmy, że rozważana forma funkcyjna MUSI je spełniać, żebyśmy mogli ją interpretować jako funkcję produkcji właśnie. Typowy problem będzie następujący: czy forma funkcyjna z parametrami odpowiadającymi uzyskanym oszacowaniom spełnia wszystkie wspomniane wyżej warunki? Czyli: czy rozważaną OSZACOWANĄ formę funkcyjną możemy interpretować jako pewną funkcję produkcji?.

[uwaga techniczna: potocznie mówimy często funkcja zamiast forma funkcyjna. Proszę jednak pamiętać o tym rozróżnieniu: czym innym są własności funkcji produkcji – czyli pewnej konstrukcji w teorii mikroekomomicznej – a czym innym własności konkretnej formy funkcyjnej – czyli postaci analitycznej której będziemy używać do modelowania funkcji produkcji. Więc można jedno i drugie nazywać „funkcją produkcji” tylko trzeba mieć świadomość wskazanej tu różnicy]

Dla zbadania własności funkcji produkcji będziemy rozpatrywać pewne charakterystyki procesu produkcyjnego. Są to przede wszystkim:

· Produkcyjności krańcowe

· Elastyczności

· Efekt skali (RTS – od returns to scale)

· Techniczna stopa subsytucji (TSS)

· Elastyczność substytucji

Tu znowu musimy wprowadzić podobne rozróżnienie: jak (a) definiuje się daną charakterystykę ogólnie (dla dowolnej postaci funkcji produkcji) [to wzór definicyjny], a jaką (b) konkretną analityczną postać przyjmuje ona dla danej formy funkcyjnej. To będzie ważne przy wyliczaniu i interpretacji.

Funkcja produkcji:

we wzorach poniżej dla celów obliczeniowych f(Z₁, ... , Z_m) można wszędzie zastąpić wielkością Q (no, trzeba uważać przy pochodnej J)

Izokwanta (powierzchnia jednakowego produktu) to zbiór wszystkich tych punktów w przestrzeni nakładów które odpowiadają pewnej ustalonej wartości funkcji produkcji Q*. Przestrzeń nakładów to u nas R₊^m (bo wielkości nakładów mogą być tylko dodatnie).

Poniżej przedstawione zostaną wzory definicyjne i ogólne sposoby interpretacji wymienionych charakterystyk:

· Produkcyjności krańcowe:

Interpretacja: Produkcyjność krańcowa i-tego czynnika mówi, o ile jednostek wzrośnie wielkość produkcji jeśli nakład i-tego czynnika zwiększy się o 1 jednostkę przy niezmienionych nakładach pozostałych czynników produkcji.

Kiedy mowa jest o jednostce, Profesor czasem mówi o „bardzo małej jednostce” – chodzi o to, że posługujemy się przybliżeniem, które jest idealne w granicy - w pewnym punkcie w przestrzeni nakładów ( w tym punkcje liczymy pochodną). Kiedy zmienimy wielkość i-tego nakładu, już będziemy w innym punkcie; intuicja jest taka, że im dalej się przemieścimy tym gorsze nasze przybliżenie, stąd „bardzo mała jednostka” – ale formalnie, to ta jednostka dąży do zera J a dla skończonych jednostek możemy dodać „w przybliżeniu” do interpretacji.

W interpretacji jest „wzrośnie” bo zakładamy dodatniość produkcyjności krańcowych – wykluczamy sytuację gdy wzrost nakładu obniża maksymalną możliwą do uzyskania wielkość produkcji. W interpretacji należy pamiętać o tym, co wytłuszczone. Rozpatrujemy tu wpływ zmian nakładu pojedynczego czynnika na wielkość produkcji.

· Elastyczności:

Zauważmy, że druga równość pozwala wyliczyć wartość produkcyjności krańcowych kiedy znamy elastyczności; trzecia równość wynika z zastosowania tzw. pochodnej logarytmicznej – jest to alternatywna definicja elastyczności czasem łatwiejsza do zastosowania. W niektórych wypadkach wygodniej wyliczyć w ten sposób elastyczność i z niej produkcyjność krańcową.

Interpretacja: Elastyczność produkcji względem nakładu i-tego czynnika mówi, o ile procent wzrośnie wielkość produkcji jeśli nakład i-tego czynnika zwiększy się o 1 procent przy niezmienionych nakładach pozostałych czynników produkcji.

Widać, że elastyczność to niemianowana produkcyjność krańcowa – dodatniość produkcyjności krańcowej odpowiada dodatniości elastyczności. Tu ta sama sprawa co poprzednio – formalnie powinien być „bardzo mały procent” ale nie wiadomo co to jest, więc dodajemy dla pewności „w przybliżeniu” lub „około”. To samo dotyczy wszystkich interpretacji więc nie będę już powtarzał.

· Efekt skali (RTS – od returns to scale)

Efekt skali zdefiniowany jest jako suma elastyczności.

Interpretacja: Współczynnik efektu skali mówi, o ile procent wzrośnie wielkość produkcji jeśli nakłady wszystkich czynników wzrosną jednocześnie o 1 procent. Wartość RTS < 1 to malejący efekt skali, RTS = 1 to stały efekt skali, RTS > 1 to rosnący efekt skali.

· Techniczna stopa subsytucji (TSS lub ang. TRS technical rate of substitution)

Techniczna stopa substytucji to iloraz produkcyjności krańcowych rozważanej pary czynników.

Interpretacja: Techniczna stopa substytucji i-tego czynnika j-tym mówi, ile trzeba wprowadzić/wyprowadzić jednostek j-tego czynnika by zastąpić jedną wyprowadzaną/wprowadzaną jednostkę i-tego czynnika (przy niezmienionych nakładach pozostałych czynników) by utrzymać wielkość produkcji na niezmienionym poziomie.

Tu oczywiście jeśli jeden czynnik wyprowadzamy musimy wprowadzać drugi (i odwrotnie), bo wielkość produkcji ma być niezmieniona. Nie ma znaczenia kierunek zmian nakładu, istotne jest, na jednostkę którego czynnika przeliczamy. Techniczna stopa substytucji „w drugą stronę” – czyli w przeliczeniu na jednostkę drugiego czynnika – to Rz_j z_i = 1/ R z_i z_j. To, czy TSS notujemy jako R zi zj czy R zj zi to kwestia konwencji. Ważne jest, na jednostkę którego czynnika przeliczamy – czy zastanawiamy się, ile jednostek kapitału „kosztuje” jedna jednostka pracy, czy odwrotnie. Produkcyjność krańcowa tego czynnika, na jednostkę którego przeliczamy jest we wzorze na Rzizj w liczniku. Tutaj przyjmujemy, że przeliczamy na jednostkę czynnika który jest drugi w zapisie R zi zj

Czasem we wzorze jest minus, co bierze się stąd, że ruch jednostek obydwu czynników jest „w przeciwną stronę” i jeżeli wprowadzenie jest z plusem to wtedy wyprowadzenie z minusem i odwrotnie. Oczywiście znowu zakładamy „małe jednostki” czyli w praktyce „...w przybliżeniu...”.

· Elastyczność substytucji.

Widać, że elastyczność substytucji jest zdefiniowana jako elastyczność technicznej stopy substytucji względem ilorazu nakładów. Ta charakterystyka jest sumaryczną miarą łatwości zastępowania czynników – duża elastyczność substytucji oznacza, że rozważane nakłady są substytutami – dają się łatwo zastępować; mała (bliska zeru) elastyczność substytucji charakteryzuje nakłady których zastępowanie nie jest możliwe. Elastyczności substytucji można przypisać intuicyjną interpretację – jest to miara zakrzywienia izokwant, do czego jeszcze wrócimy. Elastyczność substytucji bywa oznaczana jako s.

Omówione tu charakterystyki zostaną teraz rozpatrzone w odniesieniu do 2 form funkcyjnych:

Ad. 2. Formy funkcyjne Cobba-Douglasa i CES.

Forma funkcyjna Cobba-Douglasa (potęgowa) ma postać:

Rozważmy charakterystyki funkcji produkcji dla formy Cobba i Douglasa:

· Produkcyjności krańcowe i elastyczności.

Aby wyprowadzić postać produkcyjności krańcowych skorzystamy najpierw ze wzoru na pochodną logarytmiczną i wyprowadzimy elastyczności, następnie z nich wyprowadzimy produkcyjności krańcowe. Skorzystamy więc ze zlogarytmowanej funkcji C-D:

Widać tu, że elastyczności produkcji wzg. nakładów w funkcji C-D nie zależą od nakładów! Produkcyjności krańcowe natomiast zależą od nakładów.

· Efekt skali (RTS)

Jest zdefiniowany jako suma elastyczności, więc ma postać:

Widzimy, że współczynnik efektu skali w funkcji C-D nie zależy od nakładów!

· Techniczna stopa subsytucji (TSS):

To iloraz odpowiednich wyprowadzonych wcześniej produkcyjności krańcowych:

Zauważmy, że TSS zależy od ilorazu (stosunku) rozważanych nakładów.

· Elastyczność substytucji:

Elastyczność substytucji w funkcji Cobba i Douglasa wynosi dokładnie 1 i nie zależy od nakładów.

UWAGA!!! W zadaniu wyliczając konkretną wartość pewnej charakterystyki przy zadanej wielkości nakładów trzeba ją ZINTERPRETOWAĆ. A interpretacja wynika z 2 czynników:

a) po pierwsze bierzemy pod uwagę jak w ogóle interpretuje się daną charakterystykę (patrz powyżej na niebiesko)

b) po drugie patrzymy, od czego zależy jej wartość – analizujemy wzór dla konkretnej formy funkcyjnej. I jeżeli w tym wzorze coś występuje poza parametrami, musimy to w interpretacji uwzględnić.

Do punktu b) potrzebny jest wzór w którym nie występuje Q – zamiast Q wstawiamy wzór na formę funkcyjną – jak powyżej we wzorze na produkcyjności krańcowe. Ponieważ te produkcyjności w funkcji C-D (co widać powyżej) zależą od nakładów – interpretację robimy tak:

Wielkość produkcji wzrośnie o P_zi jednostek, jeśli nakład i-tego czynnika zwiększy się o 1 jednostkę z poziomu Z_i* przy niezmienionych nakładach pozostałych czynników produkcji odpowiednio na poziomie Z₁*,. Z₂* itd.

Na mocy postaci wzoru powyżej do interpretacji dochodzą części na czerwono – wynikają z tego, że we wzorze pojawiają się nakłady. We wzorze na elastyczności z kolei nie ma nakładów, więc interpretacja wyglądałaby tak jak dana powyżej (przy elastycznościach) bez modyfikacji (lub – jeśli ktoś jest b. porządny z dodatkiem: „niezależnie od poziomu nakładów czynników produkcji” .

Uzyskaną wartość technicznej stopy substytucji interpretujemy:

Trzeba wprowadzić/wyprowadzić R_ZiZj jednostek j-tego czynnika by zastąpić jedną wyprowadzaną/wprowadzaną jednostkę i-tego czynnika (przy niezmienionych nakładach pozostałych czynników i przy stosunku nakładu i-tego czynnika do nakładu j-tego czynnika wynoszącym Zi*/Zj*) by utrzymać wielkość produkcji na niezmienionym poziomie.

Zauważmy, że aby funkcja C-D spełniała wymóg dodatniości produkcyjności krańcowych wystarczy, by a_i>0 dla i = 1,2,...,m

Forma funkcyjna CES (ang. Constant Elasticity of Substitution) ma postać:

Zakładamy, że:

g>0; d_i >0 dla i = 1,2,…,m; n > 0 oraz r Î (-¥ ; 1) \ {0}

przy tym d₁ + d₂ + ... +d_m = 1 więc d_m = 1 - d₁ - d₂ +... - d_m-1

(ponieważ suma współczynników delta jest znormalizowana i wynosi 1, tylko 1-m parametrów delta podlega estymacji, m-ty paramter delta jest uzyskiwany z danego wyżej wzoru)

Alternatywna (równorzędna) parametryzacja funkcji CES to:

W tej parametryzacji wymagamy, by a_i > 0 dla i = 1,2,...,m – w tej parametryzacji nie ma parametru g, lecz za to suma parametrów a_i jest swobodna, więc liczba swobodnych parametrów w obydwu parametryzacjach jest taka sama. (warunki na parametry n i r bez zmian). Dane powyżej warunki ograniczające parametry zapewniają spełnienie przez funkcję CES wymogów regularności ekonomicznej.

Poniżej wyprowadzone zostaną wzory na poszczególne charakterystyki funkcji produkcji CES w drugiej parametryzacji – wyprowadzenia dla pierwszej parametryzacji są analogiczne.

· Produkcyjności krańcowe:

tu oczywiście r się uprości – to wzór dla interpretacji – widać, że produkcyjności krańcowe zależą od wszystkich nakładów; żeby otrzymać formułę obliczeniową, podstawimy tu Q według wzoru f-cji CES:

· Elastyczności

Podstawiając ostatni wzór do wzoru definicyjnego uzyskujemy:

(widać, że elastyczności zależą od nakładów – inaczej niż w funkcji C-D).

· Efekt skali (RTS)

(czyli kiedy się doda elastyczności i wyciągnie n przed nawias, to wszystko inne się skróci)

Zauważmy, że efekt skali nie zależy od nakładów.

· Techniczna stopa substytucji (TSS)

TSS zależy od ilorazu (stosunku) rozważanych nakładów, analogicznie jak w f. C-D.

· Elastyczność substytucji.

Elastyczność substytucji w funkcji CES nie zależy od nakładów, ale zależy przynajmniej od nieznanych parametrów, czyli może podlegać szacowaniu (w przeciwieństwie do f. C-D która narzuca pewien określony typ krzywizny izokwant (odpowiadający ES =1). Widać więc, że funkcja CES stanowi uogólnienie funkcji Cobba i Douglasa w taki sposób, żeby możliwe było modelowanie różnej - łatwej lub trudnej zastępowalności czynników produkcji (ich substytucyjności lub komplementarności). Ponadto elastyczności w funkcji CES zależą od poziomów nakładów (w przeciwieństwie do f. C-D) – jednak charakter tej zależności jest taki, że nie mogą one się zmieniać swobodnie (do czego wrócimy). Wobec tego podstawową zmianą przy przechodzeniu od funkcji C-D do CES jest inne modelowanie TSS oraz ES – pojawienie się we wzorach parametru r, który może podlegać estymacji, i odpowiada za odwzorowanie substytucyjności lub komplementarności czynników produkcji. Natomiast efekt skali jest w obydwu tych funkcjach modelowany tak samo – nie zależy od nakładów, więc nie można badać jego zmian.

W zadaniach dostaje się zwykle oszacowaną formę funkcyjną i informację o poziomie nakładów – trzeba się zorientować, co to za forma funkcyjna, wyliczyć wartości parametrów, następnie przedstawić wzory definicyjne badanych charakterystyk, potem na ich podstawie wyprowadzić konkretną postać dla danej formy funkcyjnej, wyliczyć ich wartości, zinterpretować uzyskane wyniki opierając się na wyprowadzonym wzorze.

Ważne jest tu:

A) wyliczenie wartości charakterystyki (30% punktacji)

B) wyprowadzenie wzoru wychodząc od wzoru definicyjnego (35% punktacji)

C) prawidłowa interpretacja (zaniedbanie elementu wyboldowanego w niebieskich interpretacjach (w części 1 powyżej) to bardzo poważny błąd, zaniedbanie tego, co na czerwono (w części 2) to średni błąd) (35% punktacji)

Czasem w zadaniu występuje pytanie: jak zmieni się produkcja jeśli wielkość jednego nakładu wzrośnie o A a wielkość drugiego nakładu spadnie o B (A i B w jednostkach lub procentach). Wtedy można:

- zsumować odpowiednie elastyczności lub produkcyjności krańcowe – założenie „przy pozostałych nakładach niezmienionych” nie jest spełnione, więc odpowiedź jest przybliżona

- wyliczyć odpowiedź bezpośrednio podstawiając do funkcji produkcji poziomy nakładów przed zmianą i po zmianie (to jest dokładniejszy sposób)

Podstawowe umiejętności konieczne do rozwiązywania zadań:

1. Znajomość własności mikroekonomicznej funkcji produkcji (z wykładu).
2. Znajomość definicyjnych wzorów podstawowych charakterystyk procesu produkcyjnego.
3. Umiejętność wyprowadzenia postaci badanej charakterystyki dla funkcji CES lub CD.
4. Umiejętność interpretacji otrzymanego wyniku zgodnie z definicją i postacią wzoru dla konkretnej formy funkcyjnej.
5. Umiejętność wyliczania wartości odpowiednich charakterystyk.

Zadanie Laboratoryjne

Zrobić wykresy powierzchniowe dwuczynnikowej funkcji C-D i CES w zależności od parametrów. Na tych wykresach poobserwować:

1. zmiany efektu skali (f. C-D)
2. zmiany elastyczności substytucji – jej wpływ na kształt izokwant (patrząc na powierzchniowy wykres z góry): f. C-D i CES.

Ćwiczenia tablicowe:

Ćwiczymy wyprowadzenia i interpretacje – do domu zadania z oszacowaną funkcją produkcji CES w 2 parametryzacjach i CD

Problem do przemyślenia na następne zajęcia:

Proszę porównać przydatność funkcji C-D i CES do badania kształtowania się nieznanych charakterystyk procesu produkcyjnego.