Zajęcia 14

Zgodna estymacja liniowych modeli wielorównaniowych o równaniach łącznie współzależnych

Rozważmy postać strukturalną liniowego modelu wielorównaniowego o równaniach współzależnych. Przykładowo:

; , ,

t = 1,...,T

co zapisywaliśmy w notacji macierzowej jako:

W naszym przykładowym modelu:

y_t = [y_t1 y_t2 y_t3]; x_t = [x_t1 x_t2 x_t3 1], tutaj m = 3 oraz k = 4;

wobec tego:

Dla celów estymacji przyjmujemy następującą notację:

i-te równanie postaci strukturalnej ma postać:

, (i = 1,...,m)

b_*⁽ⁱ⁾ to m_i nieznanych parametrów i-tego równania postaci strukturalnej stojących przy zmiennych łącznie współzależnych (czyli wektor nieznanych elementów i–tej kolumny macierzy B ze zmienionym znakiem)

g_*⁽ⁱ⁾ to k_i nieznanych parametrów i-tego równania postaci strukturalnej stojących przy zmiennych z góry ustalonych (czyli wektor nieznanych elementów i–tej kolumny macierzy G ze zmienionym znakiem.

Y_i to macierz wartości tych zmiennych łącznie współzależnych, które są zmiennymi objaśniającymi (po prawej stronie) w i-tym równaniu postaci strukturalnej.

X_i to macierz wartości tych zmiennych z góry ustalonych, które są zmiennymi objaśniającymi (po prawej stronie) w i-tym równaniu postaci strukturalnej.

W przykładzie dla drugiego równania: y⁽²⁾ to wektor wszystkich T wartości y_t2, b_*⁽²⁾ = [b₂ b₃ ]' (m₂ = 2) oraz g_*⁽²⁾ = [b₁ b₀]' (k₂ = 2), ponadto typowy wiersz Y₂ to [y_t1 y_t3], a typowy wiersz X₂ to [x_t2 1].

Powyższe możemy w zwarty sposób zapisać jako:

gdzie:

d⁽ⁱ⁾ – nieznane parametry i-tego równania (czyli m_i nieznanych elementów i-tej kolumny B oraz k_i nieznanych elementów i-tej kolumny G [ze zmienionym znakiem])

Z_i – macierz wartości zmiennych objaśniających i-tego równania postaci strukturalnej

W przykładzie: d⁽²⁾ = [b₂ b₃ b₁ b₀]' oraz typowy wiersz Z₂ to [y_t1 y_t3 x_t2 1],

Wektora d⁽ⁱ⁾ nie możemy szacować zwykłą MNK jako , ponieważ bieżące składniki losowe i-tego równania e_ti są silnie skorelowane z niektórymi zmiennymi objaśniającymi tego samego równania, a dokładniej z elementami t-tego wiersza Y_i. W sytuacji gdy zmienne objaśniające są losowe i silnie zależne od bieżących składników losowych estymator MNK jest NIEZGODNY. Powtórzmy, że problem powodują tu zmienne łącznie współzależne (y) występujące po prawej stronie (jako objaśniające).

Dla estymacji d⁽ⁱ⁾ można więc rozważyć podejście tzw. zmiennych instrumentalnych (instrumental variables, IV). Nie będziemy szczegółowo i formalnie opisywać tego podejścia; w przybliżeniu idea jest następująca: jeżeli zmienne objaśniające są silnie skorelowane ze składnikami i „psują” zgodność estymatora, spróbujmy znaleźć inne, zastępcze zmienne, które są silnie skorelowane z oryginalnymi zmiennymi ale słabo skorelowane z bieżącymi składnikami losowymi. W naszym problemie musimy znaleźć „instrumenty” (zastępcze zmienne) dla Z_i. Pamiętajmy, że Kłopot jest tylko z Y_i, X nie są „silnie związane” z bieżącymi składnikami losowymi.

Podwójna MNK (2MNK) sprowadza się do przyjęcia w miejsce Y_i wartości teoretycznych uzyskanych z estymacji postaci zredukowanej bez restrykcji. W postaci zredukowanej objaśniające są tylko zmienne z góry ustalone (X), możemy ją więc szacować zwykłą MNK – estymator zwykłej MNK jest tu zgodny (przy braku restrykcji jest także efektywny, ale o tym innym razem).

Rozważamy więc postać zredukowaną bez restrykcji: