Zajęcia 15
STRONA PROWIZORYCZNA.
Celem zajęć jest przeprowadzenie przykładowej estymacji modelu wielorównaniowego o równaniach współzależnych za pomocą podwójnej (dwustopniowej) MNK.
Przykład zaczerpnięty jest z książki Econometric Analysis autorstwa W.H. Greene’a; autorem modelu jest Lawrence Klein, laureat nagrody im. Nobla w zakresie ekonomii. Równania modelu mają postać:
Ct = a0+a1Pt+a2Pt-1+a3(Wpt + Wgt)+e1t
It
= b0+b1Pt+b2Pt-1+b3Kt-1+e2t
Wpt
= g0+g1Xt+g2Xt-1+g3At+e3t
Xt
= Ct + It + Gt
Pt
= Xt – Tt – Wpt
Kt = Kt-1 + It
Zmienne endogeniczne to:
C – wielkość konsumpcji w gospodarce
I – wielkość inwestycji
Wp – wielkość płac w sektorze prywatnym
X – wielkość popytu
P – wielkość zysków w sektorze prywatnym
K – zasób kapitału w gospodarce.
Zmienne egzogeniczne to:
G – wydatki rządowe (z wyjątkiem płac w sektorze budżetowym)
T – podatki pośrednie ściągnięte od przedsiębiorstw plus eksport netto
Wg – płace w sektorze budżetowym
A – numer roku (np. 1921) czyli trend liniowy
Pierwsze trzy równania mają charakter stochastyczny – zawierają składniki losowe, nieznane parametry – równania te opisują mechanizm kształtowania się odpowiednich wielkości. Równania 3-6 to warunek równowagi oraz dwie tożsamości „księgowe” – te równania nie zawierają nieznanych parametrów ani składników losowych.
Postać strukturalna (dla sprawdzenia J ):
B=
|
|
C |
I |
Wp |
X |
P |
K |
|
C |
1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
I |
0 |
1 |
0 |
-1 |
0 |
-1 |
|
Wp |
-a3 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
|
X |
0 |
0 |
-g1 |
1 |
-1 |
0 |
|
P |
-a1 |
-b1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
K |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
G=
|
|
C |
I |
Wp |
X |
P |
K |
|
P-1 |
-a2 |
-b2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
X-1 |
0 |
0 |
-g2 |
0 |
0 |
0 |
|
K-1 |
0 |
-b3 |
0 |
0 |
0 |
-1 |
|
Wg |
-a3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
G |
0 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
|
T |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
A |
0 |
0 |
-g3 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
-a0 |
-b0 |
-g0 |
0 |
0 |
0 |
Dane dla estymacji modelu Kleina są w pliku klein_dane.xls (i wersja txt) Uwaga! Estymację prowadzimy na danych od 1921 roku do 1941 roku: dane z 1920 roku są potrzebne dla konstrukcji wartości zmiennych opóźnionych z roku 1921, więc u nas T=1,..,21 co odpowiada okresowi 1921-1941.
Zadaniem Państwa jest:
Zapis postaci strukturalnej modelu (macierz B oraz G)
Klasyfikacja modelu
Zbadanie identyfikowalności 3 pierwszych równań
Estymacja 2MNK trzech pierwszych równań (wraz z podaniem błędów średnich szacunku, estymacja 1-go równania była omówiona i przeprowadzona na zajęciach )
Uwaga: niektórym z Państwa na zajęciach pokazywałem prezentację Power Point. Do podanych tam ocen parametrów a zwłaszcza błędów śr. szacunku zgłaszam głos odrębny (tzn. mi wychodzą inne – więc proszę się tą prezentacją NIE sugerować!)
Dla ułatwienia podaję poniżej wyniki estymacji: oceny 2MNK parametrów i ich asymptotyczne błędy średnie szacunku:
1 równanie
|
|
b^ |
D(b^) |
|
a1^ |
0,017302 |
0,131205 |
|
a3^ |
0,810183 |
0,044735 |
|
a2^ |
0,216234 |
0,119222 |
|
a0^ |
16,55476 |
1,467979 |
2 równanie
|
|
b^ |
D(b^) |
|
b1^ |
0,150222 |
0,192534 |
|
b2^ |
0,615944 |
0,180926 |
|
b3^ |
-0,15779 |
0,040152 |
|
b0^ |
20,27821 |
8,383249 |
3 równanie:
|
|
b^ |
D(b^) |
|
g1^ |
0,438859 |
0,039603 |
|
g2^ |
0,146674 |
0,043164 |
|
g3^ |
0,130396 |
0,032388 |
|
g0^ |
-250,294 |
61,95696 |
Coś takiego powinno Państwu wyjść. Gdyby ktoś z Państwa chciał zajrzeć do podręcznika Greene’a, to tam błędy są trochę inne (proporcjonalnie mniejsze), bo Greene bierze do s2 1/T bez odejmowania czegokolwiek od T – co ma uzasadnienie które Państwo poznają później – po prostu własności estymatora dowodzimy dla T®¥, a wtedy (w granicy) nie ma znaczenia czy coś odejmujemy od T czy nie, więc kiedy odejmujemy ma to charakter „poprawki ad hoc na małą próbę”
Ponadto Greene za At podstawia inny trend liniowy (od –10 do 10) – ale to zmienia tylko ocenę wyrazu wolnego w trzecim równaniu.
Przypominam na wszelki wypadek na czym polega 2MNK:
(1) tworzymy macierze Y, X; szacujemy postać zredukowaną bez restrykcji (czyli otrzymujemy macierz P^=(X’X)-1X’Y); otrzymujemy Y^ = XP^
(2) do postaci strukturalnej (czyli równań danych powyżej) w miejsce zmiennych łącznie współzależnych PO PRAWEJ STRONIE wstawiamy ich odpowiedniki z macierzy Y^; tak przekształcone równania szacujemy zwykłą MNK; kiedy otrzymamy oceny parametrów, to reszty e^it do s2 wyliczamy w specjalny sposób: do równań powyżej podstawiamy uzyskane oceny parametrów, ale tam, gdzie wcześniej braliśmy wartości teoretyczne zmiennych łącznie współzależnych, wstawiamy wartości z danych czyli z Y. Mając tak zrobione s2i błędy średnie (asymptotyczne) wyliczamy standardowo, czyli z Vas(b^) które liczymy biorąc s2i zrobione jak opisano wyżej razy macierz którą odwracaliśmy przy uzyskiwaniu ocen parametrów w kroku (2) i potem pierwiastki z elementów przekątniowych.
Proszę to zrobić !!! na przyszły tydzień! (bo jak nie to będę KRWIOŻERCZY DO KWADRATU) W razie kłopotów proszę mailować! JJ