Statystyka 5. Twierdzenia graniczne.

Uwaga! Przy rozwiązywaniu zadań wykorzystać twierdzenia graniczne.

1. Wynik pomiaru Y radarowej odległości do planetoidy obarczony jest błędem systematycznym b i błędem przypadkowym X. Błąd systematyczny b=50m wynika ze złego skalibrowania przyrządu i polega na zawyżaniu odległości rzeczywistej o tą wartość. Błąd przypadkowy X jest zmienną o rozkładzie normalnym N(0,100m). Błędy te są niezależne i błąd całkowity jest sumą tych błędów. Obliczyć prawdopodobieństwo

a) tego, że |X|<100m;

b) odczytany wynik pomiaru nie przekracza rzeczywistej odległości do planetoidy.

2. Obliczyć wartość przeciętną i odchylenie standardowe średniej arytmetycznej n niezależnych zmiennych losowych o tych samych rozkładach.

3. Prawdopodobieństwo wizualnego spostrzeżenia sztucznego satelity Ziemi z określonego punktu obserwacyjnego jest równa p=1/10 przy każdym locie nad punktem obserwacyjnym. Znaleźć liczbę n lotów, jaką powinien wykonać nad punktem obserwacyjnym satelita, tak aby z prawdopodobieństwem 0.9 liczba X_n spostrzeżeń wizualnych satelity była nie mniejsza niż 10.

4. Wadliwość telewizorów Samsunga wynosi według sprzedawców w=0.05. Z bieżącej produkcji pobrano w jednej z krakowskich hurtowni losową próbkę telewizorów o liczebności n=100. Niech X_n będzie liczbą sztuk wadliwych w próbce.

a) Obliczyć P(X>=5), P(X>=9).

b) Jeśli w badanej próbce stwierdzono, że liczba sztuk wadliwych jest 9, to czy ten wynik nasuwa przypuszczenie, że wadliwość w=0.05 jest podana zbyt optymistycznie, tzn. czy w rzeczywistości nie jest ona większa?

5. W programie komputerowym dodajemy 10000 liczb, każda z nich jest zaokrąglona z dokładnością do 10^-m, z powodu skończonej reprezentacji bitowej. Zakładając, że błędy zaokrąglenia są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie równomiernym w przedziale (‑10^-m/2, 10^-m/2), wyznaczyć przedział, w którym z prawdopodobieństwem 0.99 będzie się zawierał błąd sumy.

6. W skład aparatury odbiorczej interferometru radiowego wchodzi 1000 elementów określonego rodzaju. Prawdopodobieństwo uszkodzenia w ciągu roku każdego z tych elementów jest 0.001 i nie zależy od stanu pozostałych elementów. Oblicz prawdopodobieństwo:

a) uszkodzenia w ciągu roku dokładnie dwóch elementów;

b) uszkodzenia w ciągu roku nie więcej niż dwóch elementów.

7. Jakie są zależności pomiędzy rozkładem Bernouliego, Poissona i Gaussa ?