Statystyka 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
1. Na szczyt góry prowadzi pięć dróg Każda z nich
nadaje się również do zejścia. Zakładamy ponadto, że wszystkie trasy są
równorzędne. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania się dwóch znajomych, z
których jeden wchodzi na szczyt, a drugi jest już w drodze powrotnej.
2. Pięciu studentów powtarzających dany rok studiów
wybiera losowo, każdy niezależnie od pozostałych, jedną z trzech równoległych
grup. Zakładając, że wszystkie rozmieszczenia tych studentów są jednakowo
prawdopodobne, znaleźć prawdopodobieństwo tego, że:
a. wszyscy znajdą się w pierwszej grupie,
b. wszyscy znajdą się w tej samej grupie,
c. w pierwszej grupie znajdzie się dokładnie jeden student,
d. w jednej z grup znajdzie się dokładnie jeden student
e. w ustalonej grupie znajdzie się dokładnie trzech studentów.
3. W fizyce statystycznej rozważa się rozkład
(rozmieszczenie) k cząstek w n elementarnych obszarach zwanych
komórkami W zależności od postaci tych cząstek przyjmuje się jedno z trzech
następujących założeń:
1) cząstki różnią się między sobą (zatem
wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje nowy rozkład) i liczba cząstek
w jednej komórce jest dowolna (statystyka Maxwella-Boltzmanna).
2) cząstki są nierozróżnialne między sobą
(zatem wzajemna zamiana komórek przez dwie cząstki daje ten sam rozkład -
istotne jest tylko ile cząstek trafiło do poszczególnych komórek, a nie jakie
to są cząstki) i liczba cząstek w jednej komórce jest dowolna (statystyka
Bosego-Einsteina).
3) cząstki nie różnią się między sobą i w
każdej komórce może znaleźć się co najwyżej jedna cząstka (statystyka
Fermiego-Diraca).
Zakładamy, że wszystkie dopuszczalne
rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że:
a) k
cząstek rozmieści się po jednej w k ustalonych
komórkach dla każdej z rozważanych statystyk;
b) w przypadku statystyki Bosego znajdzie
się dokładnie m cząstek
b1)
w ustalonej komórce;
b2)
w jednej z n komórek;
c) w
przypadku statystyki Bosego wszystkie komórki będą zajęte;
d) w przypadku statystyki Maxwella w
pierwszej komórce znajdzie się dokładnie k1 cząstek, w drugiej - k2 cząstek itd.
4. Zadanie Buffona. Płaszczyznę podzielono prostymi równoległymi
odległymi o 2a. Na Płaszczyznę tę rzucamy w sposób przypadkowy igłę o długości
2l<2a. Jakie jest prawdopodobieństwo przecięcia przez igłę jednej z tych
prostych?
5. Przypomnij sobie aksjomatyczną definicję
prawdopodobieństwa Powtórz sobie pojęcia: koniunkcji i alternatywy zdarzeń,
zdarzeń wykluczających się i niezależnych. Udowodnij wzór na prawdopodobieństwo
zupełne i wzór Bayessa.